실생활 소재를 도입한 수업이 함수 개념 이해에 미치는 효과

손옥실 강원대학교 교육대학원 2010 국내석사

이차함수 그래프 과제에서의 오류에 대한 교정 방법과 그 효과 분석

김해성 이화여자대학교 교육대학원 2004 국내석사

본 연구에서는 학생들이 이차함수의 그래프를 학습할 때 보이는 오류를 확인하고, 이차함수의 그래프 과제를 해석(interpretation)·예측(prediction)·척도(scaling)·번역(translation)과제로 분류하여 중학교 3학년 학생들이 이차함수의 그래프 과제를 학습할 때 보이는 오류를 확인해보고, 이러한 오류들이 설명 수업식 학습과 과제표현학습을 통해 학습한 후 오류 교정에 변화가 있는지, 그리고 식·표·그래프 표현간의 이동을 초점으로한 과제 표현 학습을 통하여 어떻게 변화되는지를 살펴보았다. 이를 위해 수원시 소재 S중학교 3학년 남학생 92명을 대상으로 하여 이차함수 과제 검사를 실시하고, 5차시에 걸쳐 한 집단에게는 설명식 수업을, 다른 한 집단에게는 과제표현 학습 방법으로 수업을 실시한 후, 두 집단 모두에게 사전검사와 동형인 사후검사를 실시하여 각각 과제별로 오류의 변화에서 차이가 있는지를 알아보았다. 첫 번째 연구문제에서 학생들의 수행노트와 사전 검사를 분석하여 학생들의 오류가 크게 5가지 유형임을 알 수 있었다. 두 번째 연구 문제에서는 오류의 유형에 따라 설명식 수업과 과제표현학습의 오류 교정 비율이 달랐다. 세 번째 연구문제를 살펴보기 위하여 2명의 학생을 추출하였는데, 이를 통하여 이차 함수 그래프 과제에 대한 오류가 식·표·그래프 표현간의 이동을 강조한 과제표현 학습을 통하여 변화되는 과정을 살필 수 있었다. 오류의 범주에 따라 설명식 수업과 과제표현 학습 수업의 오류 교정 효과는 서로 달랐으며, 과제표현 학습 상황에서 학생들의 오류 중 일부는 같은 함수의 다른 표현방식을 이해하는 올바른 방향으로 변화되는 것을 발견하였다. 본 연구는 '표현(representation)'의 관점에 주목하면서 그에 따라 오류의 범주를 살펴보는 방향으로 진행되었다. 그리고 수학적 오류를 교정하기 위한 방법의 하나로써 과제표현학습이라는 교수학적 환경의 변화를 제안하였다. 하지만 이것으로 이차 함수 그래프 관련 수학적 오류들을 교정하기에는 한계가 있다. 그러므로 수학적 오류들을 처치하기 위한 구체적인 교수학적 방법을 모색해 볼 필요가 있다. 그리고 이미 형성된 수학적 오류들에 대한 교정을 위해 면담이라는 피드백을 활용한 과제표현학습으로 교수학습 환경의 변화를 시도하였는데, 이 과정에서 기존의 오류들이 어느 정도 교정되기도 하였으나, 다양한 교수학습 환경에서 학생들이 어떻게 수학적 개념이나 사실을 이해하게 되는지에 대한 고찰이 더 이루어져야 한다. This study is designed to determine errors in student's learning quadratic function, to classify the task of quadratic-function graphs into interpretation, prediction, scaling and translation tasks, to confirm errors in middle school seniors learning the task of quadratic-function graphs and to find out if there is a change in error correction after learning based on explanation-based study and task-represeantation study and if there is a change made through task expression study based on the movement of expressions, diagrams and graphs. With this in mind, the researcher worked with 92 male seniors at S middle school in Suwon, conducting a test of quadratic-function tasks, providing one group with five-session explanatory class and another group with class based on task-represeantation study method, administrating a pretest and a post-test so as to determine if there was a change in errors by task. The survey on the first research problem shows that there were five patterns of student errors on the basis of the subjects' performance notebooks and pretest. The survey on the second research problem indicates that the ratios of error correction of explanatory class and task-represeantation study differed according to the patterns of errors. In order to inquire into the third research problem, the researcher made a selection of two students and was able to determine process where errors relating to quadratic function graphs were subjected to change through task expression study focusing on the movement of represeantation, diagrams and graphs. The survey reveals that the effects of error correction in explanatory class and task-expression study differed in accordance with the categories of errors. The researcher discovered that some of the subjects' errors changed in the desirable direction of understanding the different represeantation ways of the same functions in the situation of task expression study. This study was carried out to inquire into the categories of errors by focusing on the errors of represeantation. And the researcher also made a suggestion of changes in the teaching environment of task represeantation study as a vehicle for correcting mathematics errors. But this seems to be limited as a means of correcting mathematical errors related to quadratic graphs. Therefore it is necessary to grope for specific teaching methods with a view to treating mathematical errors. And the researcher tried to effect changes in teaching and learning environment with the help of interviews as to already formed mathematical errors, or feedback-utilized task-represeantation study. It was through this process that the established errors came to be corrected, but more efforts should be made to find out how students come to have an understanding of math concepts or facts in a variety of teaching and learning environment.

函數指導에 關한 小考 : 數學 10-나 中心으로

김영도 東洋大學校 敎育大學院 2003 국내석사

수학은 그 자체뿐만 아니라 자연과학은 물론 인문, 사회 과학 분야 등 그의 전 영역에 걸쳐서 응용되고 있고 논리적 사고력과 창의력을 길러주는 수단으로 학습하고 있으며, 우리는 더 이상 수학적 지식 없이는 생활하기 힘들다. 이런 중요함에도 불구하고 많은 학생들은 수학을 단지 대학을 가기 위한 수단으로서 암기위주의 문제풀이 요령에만 치중하여 공부하고 있는 실정이다. 이로 인하여 이해를 제대로 못하고 수학을 싫어하는 사람이 많다. 그런 이유에서 본 논문에서는 심도 있는 이론 전개보다는 수학적 정의와 함수를 어떻게 지도하면 학생들로 하여금 이해와 흥미를 느낄 수 있을까에 초점을 두었다. 교사는 학생들을 가르칠 때 첫째, 교사는 교사의 지식을 학생에게 전달하기보다는 학생이 가지고 있는 수준의 지식에 맞추어 전달하여야 한다. 둘째, 학생의 동기를 유발시킬 수 있는 전개가 되어야 한다. 셋째, 학생이 혼돈하기 쉽고 이해가 잘되지 않는 부분을 교사가 먼저 예상하여 대치하여야 한다. 넷째, 교사의 활동보다는 학생의 활동이 많은 수업이 진행되도록 하여야 한다. 끝으로 교사는 학습자 수준에 맡는 교재를 꾸준히 개발해야 할 것이다. Mathematics influences many thing. The influence of mathematics can be felt in many fields including the natural and social sciences. They are widely used as tools for improving logical and even creative thinking. We can not live without the knowledge that comes from mathematics. Most students simply study the subject in order to fulfil academic requirements to enter university. Thus, Mathematics is usually equated with memorization and problem solving. In terms of this reason, I did not try on disseminating the profound theory, but I made a point on discussing how teaching students are conscious of understanding and interesting. Teachers should teach most basic contents as follow: First, the teacher should initiate his knowledge to student by the learning level of them, not the knowing level of him. Second, the teacher should unfold that include motive for student. Third, the teacher should expect to, and prepare for the procedure of the problems being solved by students. Fourth, the teacher should lead the class to get more performance by the students than by himself. And last, teacher should develop teaching material which level of students.

三角函數의 指導法

강형식 濟州大學校 敎育大學院 1997 국내석사

본 논문에서는 현행 고등학교 교과 내용을 중심으로 시각적으로 인지할 수 있는 삼각함수의 정의를 도입하여 고찰하고자 한다. 우선 삼각함수의 역사적 배경을 살피고, 각의 크기를 길이로 표현하면서 각의 종류, 크기등을 간단한 예를 통해 나타내었으며, 시각적으로 삼각함수를 정의하고 삼각함수의 연속성을 단위원주상에서 증명하여 삼각함수의 미분가능성을 증명하였다. The purpose of this thesis is to examine the definition of the trigonometric function that can be recognized visually centering around the content of the present high school curriculum. The study focuses on : · examining the historical background of the trigonometric function · showing the kind and the size of the angle by making use of simple examples with the size of the angle representing the length of the angle · giving a visual definition of the trigonometric function · proving the defferentiable of the trigonometric function by showing the succession of the trigonometric function on the unit circle circumference.

함수학습의 내용분석과 함수지도에 관한 소고 : 중등 수학교육과정에 대하여

김종일 동아대학교 1992 국내석사

In this study, we have studied the historical development of the concept of function, investigated the contents and the direction of consisting of the curriculum in the present secondary school mathematics, and explained the importance of the formation of functional thinking. In particular, we have compared the definition of function in the textbook on mathematics of the secondary school with that as one of relations of ordered pairs. In order to develop the concept of function into the mathematical concept of a higher level, it is belived that it is effective to defining the function as one of the relation of ordered pair, but that it is necessary to make a comparative analysis through practical teaching. Therefore, by strengthening the concept of relations for the area of function in secondary school mathematics and introducing the concept of function in a special case of relations, it is necessary to teach so as to unify systematically the concept of various forms.

근적외선응용 고속비파괴 목재함수율 계측시스템 개발

김광남 전남대학교 대학원 2006 국내석사

목재함수율은 목재의 가공 전 · 후 과정에서 품질에 지대한 영향을 미친다. 따라서 가공 중 목재의 함수율을 명확히 파악하고 분류하는 것은 필수적인 공정이다. 본 연구에서는 근적외선을 응용하여 단속식 및 연속식 방법으로 고속으로 목재의 함수율을 측정할 수 있는 새로운 목재 함수율 측정시스템을 개발하고자 하였다. 비파괴적인 방법으로 정지된 상태에서 spot-heater 를 통해 한 지점의 함수율을 측정하는 단속식과 컨베이어를 통해 지나가는 목재를 근적외선을 응용하여 실시간으로 측정해내는 연속식 방법이 개발이 되었으며, 두 방법 모두 만족할만한 결과를 보였다. 특히 연속식 목재함수율 측정방법의 경우 매우 안정적인 결과를 보였으며, 건조 공정 및 자동 컨트롤 시스템과 연결되어 완벽한 컴퓨터 시스템을 구축할 수 있었다. 이러한 목재함수율 측정방법은 측정조건의 변경이 매우 간단하고 기본원리 또한 쉽고 안정적이다. 따라서 이 시스템을 이용하여 목재, 합판, 제재목, 종이 및 기타 재료에 대해서 폭넓은 적용이 가능할 것으로 기대된다. Wood moisture content has considerable influence upon quality after, in and before process of wood. Therefore, clear grasp and sort for wood moisture content in process is necessary process. The objectives of this study are to develop a new wood moisture measuring system to make high-speed measuring by spot and continuous type nondestructive methods using near infrared radiation. In accordance with the nondestructive testing, a single shot measuring of one fixed point and a continuous measuring of wood surface moisture content being conveying on, where the former uses the spot-heater and the latter uses the near infrared radiation, the test result of wood moisture content by each method was very satisfying. In the case of continuous type measuring method of wood moisture content being conveyed was found very stable and effective, of which processes were completely computer-based to be unified with other process of drying and automated control system. This wood moisture measuring system is very simple to change of measuring condition, also a basic principle is a simple and a stable. Therefore this system expected that it applied to moisture content measuring of wood, plywood, lumber, paper, and so on.

반복된 뫼비우스 약수함수와 메르센 소수에 관한 연구

박상훈 전북대학교 일반대학원 2022 국내박사

약수함수는 고대부터 알려진 산술적 함수로 데데킨트, 오일러, 야코비,디리클레, 루이비유, 에르미트 등 많은 수학자들의 연구대상이었다. 특히 글래이셔의 약수함수 콘볼루션 합은 현재에도 종종 사용된다. 약수함수들과 관련된 함수들의 반복은 n에 따라 결과값이 순환하기도 하고, 0으로 끝나기도 하며 발산하기도 한다. 본 논문에서 사용할 확장된 뫼비우스 약수함수는 다음과 같이 정의한다. µ_{t}(n) = 1, if n=1, = 0, if p^{t}|n for some prime p, = ζ_{t}^{Ω(n)}, otherwise. t = 2이면, µ2 = µ는 고전적 의미의 뫼비우스 함수가 된다. 즉, µ(n) = 1, if n = 1, = (−1)^{s}, if n = p1 · · · ps, = 0, otherwise. 본 논문에서는 다음 함수를 활용할 예정이다. 음수가 아닌 정수 j, l에 대하여 µ_{t}^{j}(d)=(µ_{t}(d))^{j}이면 D^{(l)}(n;t, j) : = Σ_{d|n}d^{l}µ_{t}(d)^{jl} 이다. 본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서는 약수함수의 반복으로 유도된 친화쌍(혹은 친구수)과 안정적 수에 대하여 정의하고, Mathematica 11.2를 이용해 얻은 데이터를 통해 반복으로 유도된 친화쌍 및 안정적 수의 존재성에 대한 몇 가지 질문을 제시한다. 이를 해결하기 위해 메르센 소수와 다중완전수의 개념을 활용하여 반복으로 유도된 친화쌍 및 안정적 수의 조건에 대하여 제시한다. 3절에서는 제한된 뫼비우스 약수함수를 다음과 같이 정의하고, 그의 성 질들을 제시한다. D(n) := Σ_{d|n}µ(d)^{2}d. 또한 이 절에서는 D(n) = D(n, 2)의 안정적 수와 친화쌍을 구한다. 4절에서는 모든 자연수가 제한된 뫼비우스 약수함수의 반복으로 안정적수 또는 친화쌍이 되는 것을 이용하여 위수를 정의한다. 5절에서는 (2)-형 메르센 소수와 (2, 3)-형 메르센 소수를 이용하여 위수가 2인 n을 구하고, 일반적인 친화쌍과 제한된 약수함수의 반복으로 유도된 친화쌍을 비교한다. 마지막으로 6절에서는 디리끌레 수열의 일반형과 D(•, t)로부터 유도된 메르텐스 함수에 대해 살펴본다.

함수적 사고 기반 수업이 초등학교 6학년 학생들의 대수적 추론 능력 및 함수적 사고 수준에 미치는 영향

최은미 서울교육대학교 교육전문대학원 2016 국내석사

There are several studies that algebra education in the early algebraic perspective should connect naturally arithmetic education and algebra education based on the algebraic thinking. This study suggests a direction and a new paradigm for algebraic education in elementary schools as a starting point in algebra education. This study was conducted lessons for one class to teach functional thinking, one of the algebraic thinking in sixth grade elementary school students and went through quantitative and qualitative research process to evaluate its effectiveness.    Specifically, this study was conducted to find out how this affects the students' algebraic reasoning and functional thinking level when applying lessons based on the functional thinking. For this study, research questions were established as follows: 1. What are the effects of functional thinking based-teaching on students' algebraic reasoning skills? 2. What are the effects of functional thinking based-teaching on functional thinking level of the students? 3. What are the reactions and perceptions of students at each step of teaching based on functional thinking?    Students were divided into the experimental group and control group, after that the experimental group had a lesson based on functional thinking and the control group were carried out the traditional teaching and learning based on textbook. For solving first question, a pre-algebraic reasoning test and post-algebraic reasoning test were conducted on two groups, and the result was statistically analyzed. And for solving second question, a pre-functional thinking level test and post-functional thinking level test was conducted on the experimental group, and the result was analyzed on qualitative research method. Also, through students' surveys and interview, recording, photographing, reaction and recognition of students each step of the lesson was analyzed on qualitative research method. The results of this study are as follows:    First, the teaching based on functional thinking is applicable to elementary school students. Algebraic reasoning skills of the experimental group was higher than in the control group students' skills, and functional thinking level was also improved as a whole. Second, the teaching based on functional thinking provides students with meaningful experiences. Each lesson gave a chance to find a functional relationship and used functional expressions in various ways. Students were given a various mathematical notation situation, from rudimentary expression to algebraic expressions. In addition, it showed that different areas of mathematics can be consolidated to exert functional thinking.    Third, it was found similarities to some of the students in the process of generalization of the functional relationships. During recognizing and analyzing the quantitative relationship, students showed the characteristic to think inductively and attempt to introduce the concept of a variable. This feature helps provide implications for the teaching based on functional thinking.   Based on this conclusion it may be obtained the following implications.    First, in order to enhance functional thinking in the elementary school, it is important to develop teaching based on functional thinking in various aspects. Second, in the process of understanding functional relationship it is necessary to provide opportunities of various expression for students to understand the functional relationship. Third, in order to generalize the functional relationship it is necessary to provide several verbal description, figures, tables etc. Fourth, it is important to learn the basic concept of the variable and get an opportunity to take advantage of different ways. Fifth, it is necessary to introduce teaching based on functional thinking in integrated viewpoint between the mathematical field. Sixth, it is important to create the environment to promote meaningful mathematical communication between students and teacher-students. Finally, it is necessary to approach functional thinking in terms of mathematical thinking rather than simple calculation skills. For a natural connection of elementary mathematics and secondary school mathematics, it is important to improve the power of mathematical thought, which will be the driving force behind the significant learning mathematics. Keywords : algebraic reasoning skills, functional thinking, functional thinking level * A thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Education. 초기 대수적 관점에서 대수 교육은 대수적 사고를 바탕으로 산술 교육과 대수 교육을 자연스럽게 연결해야 한다는 여러 연구가 있으며, 이러한 연구들은 대수 교육의 출발점으로 초등학교에서의 대수 교육에 대한 방향 및 새로운 패러다임을 제시하고 있다. 본 연구에서는 대수적 사고 중 하나인 함수적 사고를 초등학교 6학년 수준에서 지도하기 위한 수업을 실시하고 그 실효성을 알아보기 위하여 양적 및 질적 연구 과정을 거쳤다. 구체적으로 본 연구는 함수적 사고 기반 수업을 개발하고 적용하였을 때에 학생들의 대수적 추론 능력 및 함수적 사고 수준에 어떠한 영향을 미치는지를 알아보기 위하여 실시되었으며, 이를 위하여 다음과 같은 세 가지 연구문제를 설정하였다. 가. 함수적 사고 기반 수업이 학생들의 대수적 추론 능력에 어떠한 영향을 미치는가? 나. 함수적 사고 기반 수업이 학생들의 함수적 사고 수준에 어떠한 영향을 미치는가? 다. 함수적 사고 기반 수업의 각 단계별 학생들의 반응과 인식은 어떠한가? 본 연구문제를 해결하기 위하여 두 집단을 실험집단과 비교집단으로 나눈 뒤 실험집단의 학생들에게는 함수적 사고 기반 수업을 개발하여 적용하였으며, 비교집단의 학생들에게는 교과서 중심의 전통적 교수·학습을 실시하였다. 첫 번째 연구문제를 해결하기 위하여 수업 전후에 대수적 추론 능력 검사를 투입하여 함수적 사고 기반 수업의 효과를 공분산 분석으로 검증하였고, 두 번째 연구문제인 함수적 사고 기반 수업이 학생들의 함수적 사고 수준 향상에 어떠한 영향을 주는지 확인하기 위하여 실험집단의 학생들에게 사전·사후 함수적 사고 수준 검사를 투입하고 학생 개인 및 함수 유형별 사고 수준이 어떻게 변화하였는지를 분석하였다. 또한, 함수적 사고 기반 수업 중 학생들이 보인 반응과 인식을 확인하고자 수업 분석을 위한 심층 면담 일지, 녹음, 촬영 및 활동지를 기초 자료로 수합하여 수업 단계별로 학생들의 반응을 분류하고 함수적 관계를 발견하고 탐구하는 중에서 나타나는 학생들의 사고 과정 및 대수 교육에 시사점을 줄 만한 사례를 뽑아 분석하였다 본 연구 결과를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 함수적 사고 기반 수업은 초등학교 학생들에게 적용이 가능하다. 수업 실시 결과, 비교집단에 비해 실험집단 학생들의 대수적 추론 능력이 높아졌으며 유형별 함수적 사고 수준 또한 전반적으로 향상되었다. 둘째, 함수적 사고 기반 수업은 학생들에게 유의미한 경험을 제공한다. 수업은 학생들에게 함수적 관계를 발견하고 찾는 과정에서 여러 표현들을 사용하고 다양한 방법으로 생각할 수 있는 문제 상황을 제공하였다. 학생들은 주어진 수학적 상황을 다양하게 표기하였으며, 변수에 대한 초보적인 기록부터 문자식으로 확장하여 표현이 가능하였다. 또한, 수학의 여러 영역들이 함수적 사고를 발휘하는 데에 통합적으로 활용될 수 있음을 보여주었다. 셋째, 함수적 관계를 일반화하는 과정에서 학생들에게 몇몇 공통점이 발견되었다. 양적 관계를 인식하고 분석하는 동안 학생들은 귀납적으로 사고하는 특징을 보였고 비형식적으로나마 변수에 대한 개념을 도입하려는 시도가 있었다. 이러한 특징은 함수적 사고 학습 방향에 대한 시사점을 제공해준다. 이러한 결론을 바탕으로 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있다. 첫째, 초등학교 수준에서의 함수적 사고를 증진시키기 위하여 다양한 측면에서의 수업 개발이 중요하다. 둘째, 학생들이 함수적 관계를 이해하는 과정에서 다양한 표현의 기회를 제공해야 한다. 셋째, 함수적 관계를 일반화하기 위해 언어적 설명, 그림, 표 등의 여러 단서가 제공되어야 한다. 넷째, 변수에 대한 기초적인 개념을 익히고 다양한 방식으로 활용할 수 있는 기회를 제공해야 한다. 다섯째, 수학과 영역들 간의 통합적 관점에서 함수 학습을 도입할 필요가 있다. 여섯째, 함수적 사고를 촉진시킬 수 있는 환경의 조성이 필요하며 교사와 학생 간의 의사소통에서는 학생의 사고를 촉진시킬 수 있는 교사의 체계적인 발문 설계와 학생과 학생간의 의미있는 수학적 의사소통을 위한 고민이 필요하다. 마지막으로, 단순한 계산 기술 습득이 아닌 ‘수학적 사고’의 측면에서 함수적 사고 지도의 접근이 필요하다. 초등 수학의 산술 영역과 중등 수학의 대수 영역의 자연스러운 연계를 위해서는 학생들이 수학적으로 사고하는 힘을 기르는 것이 중요하며 이는 의미있는 수학 학습의 원동력이 될 것이다. 주요어 : 대수적 추론 능력, 함수적 사고, 함수적 사고 수준 * 본 논문은 2016년 6월 서울교육대학교 교육전문대학원 위원회에 제출된 교육학 석사학위 논문임.

고등학교 2학년 학생들의 함수적 상황 번역 능력

김인희 한국교원대학교 대학원 2009 국내석사

본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들의 함수적 상황을 포함하고 있는 문제로부터 표, 그래프, 대수식으로의 번역 능력이 어떠한지를 살펴봄으로써 학생들의 이해도와 어려움의 경향을 파악하고 함수 교수 학습의 방향에 대한 시사점을 찾기 위함이었다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 고등학교 2학년 학생들의 함수적 상황을 포함하고 있는 문제에서 표로의 번역 능력은 어떠한가? 나. 고등학교 2학년 학생들의 함수적 상황을 포함하고 있는 문제에서 그래프로의 번역 능력은 어떠한가? 다. 고등학교 2학년 학생들의 함수적 상황을 포함하고 있는 문제에서 대수식으로의 번역 능력은 어떠한가? 이와 같은 연구 문제를 해결하기 위하여 지필 검사를 통한 조사 연구를 실시하였다. 지필 검사는 함수 번역 능력 검사로 각각 2개의 표, 그래프, 대수식으로의 번역 문항과 각 문항에 따르는 2~4개의 하위 문항으로 구성되어 모두 17개의 문항이 분석되었다. 본 연구는 서울특별시, 경기도 일산시, 충청북도 보은군 소재의 고등학교 3개교를 임의로 선정하고, 각 학교에서 2학년 1개 반씩, 106명을 연구 대상으로 하여 총 50분 동안 검사를 실시하였다. 본 연구 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 규칙성과 관련하여, 학생들은 ‘점점 더 증가’하는 상황과 ‘점점 덜 증가’하는 상황을 일정하게 증가하는 것으로 응답하였다. 또한 ‘3배씩 증가’하거나 ‘배씩 감소’하는 지수적인 상황을 일정하게 증가하거나 감소한다고 응답하였다. 이는 학생들이 함수적 상황에서 변화의 양상이 어떠한지에 대하여 인식하고 표현하는 기회가 필요함을 시사한다. 둘째, 표 번역 문항에서, 학생들은 초기값을 마음대로 정하였다. 이는 표 구성 과정에서 초기값 파악에 대한 집중적인 학습 기회가 필요함을 시사한다. 셋째, 그래프 번역 문항에서, 학생들이 제시한 좌표 평면은 축의 교점이 원점이 아니었다. 이는 학생들이 축이 무엇을 의미하고 어떤 수들을 표시해야 되는지에 대한 좀 더 기초적인 경험이 필요함을 시사한다. 넷째, 그래프 번역 문항에서, 학생들의 그래프는 독립 변수와 종속 변수가 뒤바뀌어 있었다. 이는 학생들이 변화 현상을 관찰함으로써 변하는 대상과 그 대상을 변하게 하는 것이 무엇인지에 대하여 고민할 기회가 필요함을 시사한다. 다섯째, 대수식 질적 번역 문항에서, 학생들은 시간에 따라 거리가 감소한다는 것을 이유로 들어 반비례 함수라고 답하였다. 또한 시간에 따라 거리가 일정하게 감소하는 것을 이유로 들며 정비례 함수라고 답하였다. 이는 여러 가지 함수에 대한 학생들의 통합적인 이해가 필요함을 시사한다. The purpose of this research is to find the translation ability of second grade students in high school from the problems with Functional Situation to Tables, Graphs, and Formulas. The research is to acquire the level of understanding, tendency of difficulty degree, and to find the suggestive way of pedagogics on Function problems. Following research subjects were selected for this purpose. A. What is the Translation Ability to Tables for problems including Functional Situation for second grade students in high school. B. What is the Translation Ability to Graphs for problems including Functional Situation for second grade students in high school. C. What is the Translation Ability to Formulas for problems including Functional Situation for second grade students in high school. Research was done using Paper and Pencil Test to find the research results. Paper and pencil test was Functional Translation Test which consists of two translation items each on Tables, Graphs, Formulas and 2~4 subordinate items, and total of 17 items were analyzed. Performed random sample selection for three high school - one from Seoul, one from Ilsan City in Kyonggi province, and one from Boeun-Gun in Chungcheongbuk-Do province - and selected one junior classroom from each school with total of 106 students as objects of research. Test was conducted for 50 minutes. Following conclusions could be found according to the research. First, regarding regularity, students answered 'exponential increase situation' and 'reverse exponential increase situation' as proportional increase. Also, answered exponential situation like 'increase by 3 times' or 'decrease by half' as proportional increase or proportional decrease. This indicates that students need to recognize and express about changing phase in Functional Situation. Second, students set initial values on their own for Table Translation items. This indicates that students need intensive study on setting initial values. Third, intersection of coordinate plane which students presented was not origin for Graph Translation items. This indicates that students need more basic experience on what the axis mean, and what numbers to display. Fourth, students exchanged independent variables and dependent variables in Graph Translation items. This indicates students need to distinguish between changing object and change-making object by carefully observe the changing situation. Fifth, for Formula Qualitative Translation items, students answered it as inverse proportion function because distance reduces proportional to time. Also, students answered it as direct proportion function because distance reduces with constant value proportional to time. This indicates students need integrated understanding on various functions.

그래프 해석을 통한 일차함수 도입에 관한 사례연구

장명희 한국교원대학교 교육대학원 2012 국내석사

본 연구의 목적은 중학교 2학년 학생들의 일차함수 학습내용을 등속도 운동 상황을 중심으로 그래프 해석을 통하여 도입하였을 때, 학생들의 일차함수의 인지적 요소의 습득과 그래프 해석능력에 어떠한 영향을 미치는지 알아보는데 있다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 등속도 운동 상황을 중심으로 그래프 해석을 통한 일차함수 도입이 일차함수의 학습내용 기울기개념 및 성질, x절편, y절편, 평행이동의 인지적 요소에 어떠한 영향을 미치는가? 2. 등속도 운동 상황을 중심으로 그래프 해석을 통한 일차함수 도입이 상황과 그래프 사이의 해석능력에 어떠한 영향을 미치는가? 이와 같은 연구 문제를 해결하기 위하여 학원등의 선행학습을 통해 일차함수를 배운 적이 없고 연구에 참여를 희망한 중학교 1학년 학생 3명을 대상으로 질적 사례연구를 실시하였다. 사전검사 1차시와 본수업 4차시, 사후 검사 1차시 총 6차시의 수업을 실시하였으며, 연구에 사용된 학습지는 선행연구를 바탕으로 연구자가 고안하였다. 연구 분석은 학생들이 풀이한 학습지와 수업과 면담내용을 녹화, 녹음한 자료, 수업 중 연구자가 기록한 관찰지를 이용하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 결론을 얻었다. 질적 그래프에서 두 변인 사이의 관계를 그래프로 해석, 구성 할 수 있는 능력이 기울기 개념 형성과 상관관계가 있는 것으로 관찰되었다. 연구 참여자들은 학습지의 배경인 등속도 직선 운동에서 기울기의 의미를 속도라 인식하였다. 속도=거리의변화량/시간의 변화량으로 인식한 연구 참여자는 기울기 개념을 y좌표간의 거리/x좌표간의 거리로 형성하였지만, 속도=거리의값/시간의 값으로 인식한 연구 참여자들은 기울기 개념을 y의값/x의값으로 형성하였다. 이처럼 속도의 개념을 어떻게 형성하고 있는지는 기울기 개념 형성에 영향을 미쳤다. 게다가 속도 개념 형성의 차이는 y=ax+b로 수준상승에도 차이가 나타났다. 평행이동, x절편, y절편, 기울기 성질은 적절한 교수학적 현상을 통한 질적․양적 그래프 해석을 통하여 개념 형성이 가능하였으며, 적절한 발문은 대수식체제와의 연결이 가능하였다. 특정한 사건이 일어나거나 어떤 상태가 충족되는 곳 결정하기 항목에서는 사전검사에서는 전체적으로 거리의값/시간의값 속도를 구하여 문제를 해석하던 경향에서 벗어나 상태가 충족되는 곳을 결정하여 문제를 해석하는 것으로 변화하였다. 변인 간 관계 진술하기 항목에서 사전검사에서 x축, y축 변인 사이의 관계에서 함수의 성질을 고려하지 않고 그래프를 해석하던 경향에서 직선의 의미, 기울기의 개념, 기울기의 성질을 고려하여 그래프를 해석하는 모습으로 변화하였다. 종속 변수 간 관련짓기 항목은 종속변수를 상호 관련짓기 위해서는 문제 해결에 필요한 기울기의 의미인 속도를 구할 때 사전검사에서는 변인을 그릇되게 연결하여 속도=거리의좌표값/시간의좌표값으로 구하였으나, 사후검사에서는 x,y변인을 관련지어 그래프에서 기울기의 의미와 속도를 관련지어 해석하여 문제를 해결하는 모습으로 변화 하였다. 사례연구를 통해 질적, 양적 그래프를 접하다 보니 변인사이의 관계로 그래프로 해석하는 능력이 향상된 것으로 판단된다.